SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [27]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

O modelo clássico de Heisenberg é o caso $n=3$ do modelo n-vetorial,^[1]^[2] um dos modelos usados em física estatística para modelar o ferromagnetismo^[3] e outros fenômenos.^[4]

Definição

Pode ser formulado da seguinte forma:

pegue uma grade d-dimensional e um conjunto de spins do comprimento da unidade

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\vec {s}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3},|{\vec {s}}_{i}|=1\quad (1)

cada um colocado em um nó da grade.

O modelo é definido através da seguinte hamiltoniana^[5]:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\mathcal {H}}=-\sum _{i,j}{\mathcal {J}}_{ij}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}\quad (2)

com

{\mathcal {J}}_{ij}={\begin{cases}J&{\mbox{se }}i,j{\mbox{ são vizinhos}}\\0&{\mbox{se não.}}\end{cases}}

um acoplamento entre spins.

O modelo de Ising é muito empregado na física do estado sólido^[1] e consiste em um modelo teórico que descreve de forma clara as propriedades magnéticas, bem como, busca simular a estrutura de uma substância ferromagnética.^[2] Obtido através de uma simplificação do modelo de Heisenberg, este é tido como um modelo dinâmico de transição de fase que incorpora interações de curto alcance numa rede d-dimensional.^[3]

Mesmo sendo conhecido como um modelo simples, uma vez que considera apenas as interações entre os spins dos vizinhos mais próximos, o modelo de Ising demonstra resultados compensatórios,^[2] podendo descrever qualitativamente vários fenômenos relacionados às transições de fase. Sua usabilidade vem do fato de que as características essenciais dos fenômenos de transição (especialmente na vizinhança próxima do ponto crítico), não serão significativamente alteradas com a inclusão das interações dos spins mais distantes.^[4]

Do mesmo modo, a substituição de uma rede estrutural por outra, desde que sua dimensionalidade seja mantida, não irá alterar significativamente as características dos fenômenos de transição de fase. Por fim, essas soluções podem ser compartilhadas, com poucas modificações, por muitos outros sistemas físicos passando por tipos muito diferentes de transições (gás-líquido ao invés de paramagnético-ferromagnético, por exemplo).^[4] Devido a essa relação íntima entre as transições de fase e o modelo de Ising, serão inicialmente abordadas as transições de fase, tão importantes para toda a física, e posteriormente o modelo de Ising propriamente dito.

Transições de fase

Os fenômenos físicos aos quais o formalismo da mecânica estatística é aplicado podem, em geral, ser classificados em duas categorias. Na primeira categoria, os elementos microscópicos do sistema dado são considerados como não interagentes.^[4] Para essa situação, as funções termodinâmicas do sistema devem estar diretamente relacionadas ao conhecimento dos níveis de energia dos seus constituintes individuais.

A segunda categoria, por sua vez, é formada por sistemas nos quais a interação interatômica desempenha um importante papel físico. Particularmente em sólidos, desde que as posições dos átomos ao longo de uma grande faixa de temperaturas se mantenham próximas aos seus valores médios, é possível tratar o sólido escolhido como um “conjunto de osciladores harmônicos praticamente não interagentes”.^[4]

Nesta situação, os níveis de energia do sistema total não irão estar relacionados aos níveis de energia dos elementos individuais. Em vez disso, constata-se que, em circunstâncias favoráveis, um grande número de constituintes microscópicos do sistema podem exibir uma tendência de interagir uns com os outros de uma maneira bastante forte e cooperativa.^[4] Este comportamento, assume significado macroscópico a uma temperatura comumente chamada de temperatura crítica do sistema ( $T_{c}$ ).

Quando abordados os fenômenos pertencentes a essa segunda categoria é comum perceber-se uma mudança repentina do comportamento das propriedades termodinâmicas do sistema dado, ou seja, transições de fase. Assim como os fenômenos críticos, as transições de fases costumam ocorrer nos mais diversos sistemas: fluidos simples e misturass, materiais magnéticos e ferroelétricos, superfluidos, supercondutores, etc.^[3] Os sistemas físico-químicos que sofrem transições de fase podem ser representados em vários graus de precisão.

As teorias clássicas das mudanças de fase em sólidos e líquidos envolvem problemas matemáticos admiráveis,^[5] que vêm sendo estudados desde 1873, quando van der Waals publicou sua tese de doutorado acerca do comportamento crítico em sistemas fluidos. Pierre Curie e Pierre Weiss, por sua vez, se dedicaram ao estudo da transição para o ferromagnetismo. Teorias dessa natureza, envolvem experiências nas vizinhanças dos pontos críticos e têm sido usadas para descrever os aspectos qualitativos de vários tipos de transições de fases.^[3]

Na região crítica (que envolve o ponto crítico), grandezas termodinâmicas como os calores específicos, a compressibilidade e a susceptibilidade magnética, apresentam um comportamento peculiar caracterizado por divergências assintóticas. Esse comportamento, por sua vez, é identificado através dos expoentes críticos.

A partir da década de 60, quando o avanço das técnicas e tecnologias permitiu que as teorias clássicas passassem por um processo mais rigoroso de análise, percebeu-se através das experiências nas vizinhanças da criticalidade que os expoentes críticos assumem valores universais, bem definidos, mas que não coincidem com as previsões das “teorias clássicas”. Assim sendo, enquanto as teorias clássicas para sistemas distintos afirmavam que estes expoentes possuíam um caráter universal (um conjunto clássico de valores), tanto os dados experimentais quanto diversos resultados teóricos apontavam para a existência de classes de universalidade (definidas por parâmetros como a dimensionalidade dos sistemas sob consideração).^[3]

Atualmente se reconhece que os expoentes críticos são determinados por pouquíssimos fatores, entre os quais estão:^[3]

A dimensionalidade dos sistemas físicos;
A dimensionalidade do parâmetro de ordem; e
O alcance das interações microscópicas (nos sistemas de interesse físico as interações microscópicas serão, em geral, de curto alcance).

Tendo em vista essas questões, será discutido agora um dos mais simples e mais estudados modelos da mecânica estatística:^[6]: o modelo de Ising.

Definição

Um dos fenômenos mais interessantes da física do estado sólido é o ferromagnetismo.^[1] Do mesmo modo, a magnetização espontânea dos materiais ferromagnéticos constituiu por muito tempo um problema intransponível para a física como ciência.

As primeiras teorias clássicas que tentaram explicar este problema surgiram em meados do século XIX,^[7] no entanto seu desenvolvimento completo se deu apenas com o surgimento da mecânica quântica e do conceito de spin. A partir deste momento, para explicar o ferromagnetismo, tornou-se interessante olhar para as características microscópicas do sistema e modelar o comportamento de alguns dos seus elementos.

O modelo de Ising, primeiramente proposto por Wilhelm Lenz em 1920, com o objetivo de estudar o magnetismo em materiais, foi resolvido para uma dimensão pelo seu aluno de doutorado, o estudante Ernst Ising, em 1925.^[2] Embora Ernst tenha obtido com o modelo de Ising resultados interessantes acerca das propriedades termodinâmicas, ele pode perceber que o caso em uma dimensão não possuía transição de fase ou magnetização espontânea.^[8]

A demonstração da transição de fase ocorreu, por sua vez, em 1944, quando Lars Onsager resolveu por aproximação o modelo bidimensional de Ising na ausência de um campo magnético.^[8] O cálculo por aproximação, feito para funções termodinâmicas com descontinuidades é bastante complicado visto que, a convergência da aproximação por funções analíticas em tais casos é lenta.^[5] Sem nenhuma aproximação, a solução analítica tanto para duas como para três dimensões seria impossível.^[8]

O modelo de Ising bidimensional cede a um tratamento exato na mecânica estatística. Esse é o único exemplo não trivial de uma transição de fase que pode ser trabalhada com rigor matemático.^[3] O nome modelo de Ising foi popularizado após o artigo de R. Peierls, publicado em 1936 com o título “On Ising’s Model of Ferromagnetism”.^[8]

A proposta de explicação que o modelo de Ising usa para a magnetização espontânea é baseada no conceito de interação de troca.^[9] Para modelarmos essa situação teremos que considerar então os termos referentes à energia no estado fundamental, àqueles relativos à interação coulombiana (interação entre partículas eletricamente carregadas) além, é claro, do termo associado à interação de troca.

A hamiltoniana de Heisenberg, assim como segue, é a responsável maior por definir a interação de troca entre os elétrons dando origem ao já citado modelo isotrópico de Heisenberg.

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$H=-J\textstyle \sum _{i,j}\displaystyle (\sigma _{i}^{x}\sigma _{j}^{x}+\sigma _{i}^{y}\sigma _{j}^{y}+\sigma _{i}^{z}\sigma _{j}^{z})$

Na equação acima J é a interação de troca entre os spins $\sigma _{i}$ e $\sigma _{j}$ , bem como x, y e z são as direções das suas componentes.^[9] A hamiltoniana de Ising, por sua vez, surge de uma particularização da hamiltoniana de Heisenberg, ou seja, para descrever um sistema cujos spins apontam para uma única direção (direção z, por exemplo). Veja a seguir a hamiltoniana de Ising.

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$H=-J\textstyle \sum _{i,j}\displaystyle \sigma _{i}^{z}\sigma _{j}^{z}$

Por ter uma posição favorecida, o modelo de Ising é dito anisotrópico, ou seja, suas propriedades físicas devem variar com a direção.

Aproximação de ordem zero

A fim de descrever a teoria microscópica das transições de fase foram desenvolvidos alguns modelos matemáticos. O modelo de Ising, como citado anteriormente, busca descrever tais transições, para tanto considera as interações de curto alcance entre os spins dos átomos imediatamente mais próximos (chamados primeiros vizinhos) de um átomo específico em uma rede d-dimensional.

Algumas técnicas foram desenvolvidas com o intuito de encontrar a solução para o modelo de Ising, essas técnicas formam o pequeno conjunto de ferramentas disponíveis para para descrever sistemas complexos. Duas técnicas podem ser destacadas, são elas a aproximação de ordem zero e a primeira aproximação.^[3]

A partir das tentativas de desenvolver estudos estatísticos de transição de fase do tipo ordem-desordem, Gorsky em 1928 supôs que o trabalho gasto para mudar um átomo de uma posição ordenada para uma desordenada era diretamente proporcional ao grau de ordem do sistema.^[4] A ideia foi desenvolvida por Bragg e Williams em 1934 e 1935 respectivamente, que pela primeira vez introduziram a ideia de parâmetro de longo alcance.

Nessa aproximação, a ideia central consiste em isolar um spin da rede e considerar a existência de um valor fixo para a magnetização dos demais spins, de modo que é possível supor a existência de um campo magnético interno médio, que interage com o spin isolado, permitindo assim desprezar as interações entre os pares de spins vizinhos e as flutuações causadas na função de correlação, que se estendem fora da célula fixada da rede. Desta forma a aproximação de ordem zero considera somente as flutuações que ocorrem na célula fixada, ou seja, envolve somente as flutuações que ocorrem com um único spin fixo.^[3]^[10]

Ao fixar um único spin da rede e considerar a interação deste com os demais, a partir de um campo médio de magnetização, o problema de mecânica estatística de muitos corpos é reduzido para um problema de um único corpo. Essa aproximação, por sua vez, carrega certo grau de inexatidão, especialmente quando são envolvidos os sistemas próximos do ponto crítico, em que as flutuações se estendem a grandes distâncias. Mas, apesar dessa aproximação não fornecer resultados exatos, ela pode ser muito útil, como por exemplo, na descrição de propriedades termodinâmicas de sistemas em regiões de altas temperaturas, onde não é esperado a existência de correlação entre o spin e seus primeiros vizinhos.^[10] Existem ainda algumas versões mais sofisticadas do modelo da aproximação de ordem zero, que consistem em fixar mais de um spin da rede, a exemplo de um par de spins vizinhos, reduzindo o problema de vários corpos a um problema de dois corpos e fornecendo resultados mais precisos.^[10]

Em um modelo de spin ½ , para uma rede com N spins, N representa o número total de spins dado pela soma de todos os spins Up da rede ( $N_{+}$ ) com todos spins Down ( $N_{-}$ ).^[4] Defini-se o parâmetro de ordem de longo alcance ( $�$ ) nesse sistema na forma,

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$L=\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{i}\sigma _{i}$

note que $�$ é um parâmetro médio e representa a média da correlação de spin ( ${\overline {\sigma _{i}}}$ ). A equação acima pode ser escrita como:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$L=\left({\frac {N_{+}-N_{-}}{N}}\right).$

A magnetização por sua vez, é expressa como o produto da diferença entre a quantidade de spins Up e Down e pelo momento magnético ( $\mu$ ), matematicamente tem-se que:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$M=(N_{+}-N_{-})\mu ,$

que ainda, pode ser reescrita na forma:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$M=N.L.\mu$

evidenciando a dependência que a magnetização possui em relação ao parâmetro de ordem de longo alcance.

O hamiltoniano deste sistema, que possui a forma dada por:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$H\{\sigma _{i}\}=-J\textstyle \sum _{nm}\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}-\mu B\textstyle \sum _{i}\displaystyle \sigma _{i}$

pode ser reescrito, ficando da seguinte maneira:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$H\{\sigma _{i}\}=-{\frac {jq{\overline {L}}}{2}}\textstyle \sum _{i}\displaystyle \sigma _{i}-\mu B\textstyle \sum _{i}\displaystyle \sigma _{i}.$

Nesta equação, q representa o número de coordenação, isto é, a quantidade de vizinhos imediatamente mais próximos do spin fixado (em uma rede unidimensional q = 2 e em uma rede bidimensional q = 4) e B representa o campo magnético externo.

O hamiltoniano pode ser resolvido, de forma a denotar o valor da energia do sistema, que vale:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$E=-{\frac {NqJ{\overline {L}}}{2}}L-\mu BNL.$

De modo que a energia média para esse sistema é dada de forma semelhante:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$E_{(}med)=U=-{\frac {NqJ{\overline {L}}^{2}}{2}}-\mu BN{\overline {L}}.$

A diferença de energia ( $\Delta \varepsilon$ ) para trocar um spin Up por um Down, por sua vez, é descrita como:

$\Delta \varepsilon \approx 2\mu {\Biggl (}{\frac {qJ\sigma }{\mu }}+B{\Biggr )}.$

Fazendo $B\prime ={\frac {qJ\sigma }{\mu }}$ , a equação passa a ter a seguinte forma:

$\Delta \varepsilon \approx 2\mu {\Biggl (}B\prime +B{\Biggr )}$

onde $B\prime$ representa o campo magnético interno do sistema.

As condições para mudança de fase são determinadas a partir da relação a seguir,

${\frac {\overline {N_{-}}}{\overline {N_{+}}}}=\exp({\frac {-\Delta \varepsilon }{kT}}).$

Quando realizados os tratamentos matemáticos adequados é obtida a seguinte relação,

${\overline {L_{o}}}=\tanh {\Biggl (}{\frac {qJ{\overline {L}}+\mu B}{kT}}{\Biggr )}$

que, na ausência do campo magnético externo se reduz a

${\overline {L_{o}}}=\tanh {\Biggl (}{\frac {qJ{\overline {L_{o}}}}{kT}}{\Biggr )}.$

A equação acima pode ser resolvida graficamente, de modo que sua solução indica uma temperatura crítica ( $T_{c}$ ), a partir da qual é possível definir o início da transição de fase ferromagnética. Essa temperatura recebe o nome de temperatura de Curie, que pode ser expressa matematicamente por,

$T_{c}={\frac {qJ}{k}}.$

Quando o sistema sai de um estado com temperaturas maiores que $T_{c}$ e passa para um estado com temperatura menores, ocorre uma transição de fase. Durante este fenômeno os spins da rede passam por um processo chamado de acoplamento, se alinhando na mesma direção e sentido, de modo que o sistema passa a apresentar magnetização espontânea.^[4]

O calor específico para este sistema, por sua vez, pode ser expresso da seguinte maneira,

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$C_{o}(T)\approx 4Nk{\Biggl (}{\frac {T_{c}}{T}}{\Biggr )}^{2}\exp {\Biggl (}{\frac {-2T_{c}}{T}}{\Biggr )}.$

Por intermédio dessa equação é possível notar que quando $T\rightarrow T_{c}$ o calor específico do sistema desaparece, isto ocorre pois para temperaturas elevadas não há magnetização espontânea.

Em mecânica estatística, o modelo de Potts, uma generalização do modelo de Ising, é um modelo de spins em interação em um reticulado cristalino. Pelo estudo do modelo de Potts, pode-se ter uma visão do comportamento de ferromagnetos e outros fenômenos em física do estado sólido. A força do modelo de Potts está menos no fato de que modela bem estes sistemas físicos e mais no fato de que o caso unidimensional é exatamente solvável. O modelo de Potts tem uma rica formulação matemática, que tem sido extensivamente estudada.

O modelo recebe este nome em homenagem ao matemático australiano Renfrey Potts, que descreveu o modelo perto da conclusão de sua tese de doutorado em 1951. O modelo estava relacionado como o "modelo de Potts planar" ou "modelo do relógio", sugerido a Potts por seu orientador, o físico britânico Cyril Domb. O modelo de Potts planar de quatro estados é às vezes chamado de modelo Ashkin-Teller, em homenagem aos físicos Julius Ashkin e Edward Teller, que falaram sobre um modelo equivalente em 1943.^[1]

O modelo de Potts está relacionado a e é generalizado por vários outros modelos, incluindo o modelo XY, o modelo de Heisenberg e o modelo n-vetor. O modelo de Potts de intervalo infinito é conhecido como modelo de Kac. Quando se assume que os spins interagem de maneira não-abeliana, o modelo está relacionado com o modelo do tubo de fluxo, usado para discutir confinamento em cromodinâmica quântica. Generalizações do modelo de Potts também têm sido usadas para modelar crescimento de grãos em metais e endurecimento de espumas. Uma generalização adicional destes métodos por James Glazier e François Graner, conhecida como modelo de Potts celular, tem sido usada para simular fenômenos estáticos e cinéticos em espuma e morfogênese biológica.^[2]

Descrição física

O modelo de Potts consiste em spins colocados em um reticulado. O reticulado é geralmente assumido como um reticulado euclidiano retangular bidimensional, mas é frequentemente generalizado a outras dimensões e outros reticulados. Domb sugeriu originalmente que o spin assume um de $�$ valores possíveis, distribuídos uniformemente pelo círculo, em ângulos

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\theta _{n}={\frac {2\pi n}{q}},

em que $n=1,...,q$ e o hamiltoniano da interação é dado por

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

H_{c}=J_{c}\sum _{(i,j)}\cos \left(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}\right)

com a soma correndo pelos pares de vizinhos mais próximos $(i,j)$ sobre todos os locais do reticulado. As cores do local $s_{i}$ assumem valores em $\{1,...,q\}$ . Aqui, $J_{c}$ é uma constante de acoplamento, que determina a força da interação. Este modelo é agora conhecido como modelo de Potts vetorial ou modelo do relógio. Potts forneceu a locação em duas dimensões da transição de fase para $q=3$ e $q=4$ .^[3] No limite conforme $q\rightarrow \infty$ , este se torna o modelo XY.

O que é agora conhecido como o modelo de Potts padrão foi sugerido por Potts na disciplina sobre seu estudo acima e usa um hamiltoniano mais simples, dado por:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j}),

em que $\delta (s_{i},s_{j})$ é o delta de Kronecker, que é igual a 1 sempre que $s_{i}=s_{j}$ e 0 de outro modo.

O modelo de Potts padrão $q=2$ é equivalente ao modelo de Ising e ao modelo de Potts vetorial de dois estados com $J_{p}=-2J_{c}$ . O modelo de Potts padrão $q=3$ é equivalente ao modelo de Potts vetorial de três estados com $J_{p}=-(3/2)J_{c}$ .

Uma generalização comum consiste em introduzir um termo de "campo magnético" externo $ℎ$ , movendo os parâmetros no interior das somas e permitindo que variem através do modelo

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\beta H_{g}=-\beta \sum _{(i,j)}J_{ij}\delta (s_{i},s_{j})-\sum _{i}h_{i}s_{i},

em que $\beta =1/kT$ é a temperatura inversa, $�$ é a constante de Boltzmann e $�$ é a temperatura. A soma pode correr por vizinhos mais distantes no reticulado ou pode, na verdade, ser uma força de intervalo infinito.

Textos diferentes podem adotar convenções ligeiramente diferentes, o que pode alterar $�$ e a função de partição associada pelas constantes aditivas ou multiplicativas.

Discussão

Apesar de sua simplicidade como um modelo de sistema físico, o modelo de Potts é útil como um sistema de modelo para o estudo de transições de fase. Por exemplo, reticulados bidimensionais com $J>0$ exibem uma transição de primeira ordem se $q>4$ . Quando $q\leq 4$ , uma transição contínua é observada, assim como no modelo de Ising em que $q=2$ . Outro uso é encontrado na relação do modelo com problemas de percolação, além polinômios de Tutte e polinômios cromáticos encontrados em combinatória.^[4]

O modelo tem uma relação íntima com o modelo de grupo aleatório de Fortuin–Kasteleyn, outro modelo em mecânica estatística. A compreensão desta relação tem ajudado a desenvolver eficientes métodos de Monte Carlo de cadeia de Markov para exploração numérica do modelo em $�$ pequeno.

Para valores inteiros de $�$ , $q\geq 3$ , o modelo exibe o fenômeno da adsorção interfacial com propriedades de molhabilidade críticas intrigantes quando se fixam fronteiras opostas em dois estados diferentes.^[5]

Descrição teórica da medida

O modelo de Potts unidimensional pode ser expresso em termos de um subdeslocamento de tipo finito, ganhando assim acesso a todas as técnicas matemáticas associadas com este formalismo. Em particular, pode ser resolvido exatamente pelo uso de técnicas de operadores de transferência. Entretanto, Ernst Ising usava métodos combinatórios para resolver o modelo de Ising, o "ancestral" do modelo de Potts, em sua tese de doutorado de 1924. Esta seção desenvolve o formalismo matemático, baseado na teoria da medida, por trás desta solução.

Ainda que o exemplo abaixo seja desenvolvido para o caso unidimensional, muitos dos argumentos e quase toda a notação podem ser generalizados facilmente a qualquer número de dimensões. Algo do formalismo também é amplo o bastante para lidar com modelos relacionados, como o modelo XY, o modelo de Heisenberg e o modelo n-vetor.

Topologia do espaço de estados

Considere $Q=\{1,...,q\}$ um conjunto finito de símbolos e considere

Q^{\mathbf {Z} }=\{s=(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in Q\;\forall k\in \mathbf {Z} \}

o conjunto de todas as cordas de valores bi-infinitas a partir do conjunto $�$ . Este conjunto é chamado de deslocamento total. Para a definição do modelo de Potts, tanto este espaço inteiro, como um certo subconjunto do mesmo, um subdeslocamento de tipo finito, podem ser usados. Os deslocamentos recebem este nome porque há um operador natural neste espaço, o operador de deslocamento $\tau :Q^{\mathbf {Z} }\rightarrow Q^{\mathbf {Z} }$ , agindo como

\tau (s)_{k}=s_{k+1}.

Este conjunto tem uma topologia produto natural. A base para este topologia é composta pelos conjuntos cilindros

C_{m}[\xi _{0},\ldots ,\xi _{k}]=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:s_{m}=\xi _{0},\ldots ,s_{m+k}=\xi _{k}\},

isto é, o conjunto de todas as cordas possíveis em que $k+1$ spins correspondem exatamente a um dado conjunto específico de valores $\xi _{0},...,\xi _{k}$ . Representações explícitas para os conjuntos cilindros podem ser apreendidas ao notar que a corda de valores corresponde ao número q-ádico e assim, intuitivamente, a topologia produto lembra aquela da linha de números reais.^[6]

Energia de interação

A interação entre os spins é então dada por uma função contínua $V:Q^{\mathbf {Z} }\rightarrow \mathbf {R}$ nesta topologia. Qualquer função fará. Por exemplo,

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

V(s)=-J\delta (s_{0},s_{1})

será visto para descrever a interação entre os vizinhos mais próximos. É claro que funções diferentes dão interações diferentes. Então, uma função de $s_{0}$ , $s_{1}$ e $s_{2}$ descreverá uma interação entre os vizinhos mais próximos seguintes. Uma função $�$ dá a energia de interação entre um conjunto de spins, que não é o hamiltoniano, mas é usada em sua construção. O argumento para a função $�$ é um elemento $s\in Q^{\mathbf {Z} }$ , isto é, uma corda infinita de spins. No exemplo acima, a função $�$ apenas selecionou dois spins da corda infinita: os valores $s_{0}$ e $s_{1}$ . Em geral, a função $�$ pode depender de alguns ou todos os spins. Atualmente, apenas aqueles que dependem de um número finito são exatamente solváveis.

Defina a função $H_{n}:Q^{\mathbf {Z} }\rightarrow \mathbf {R}$ como

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

H_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}V(\tau ^{k}s).

Pode-se ver que esta função consiste em duas partes: a auto-energia de uma configuração $[s_{0},s_{1},...,s_{n}]$ de spins, além da energia de interação deste conjunto e todos os outros spins no reticulado. O limite $n\rightarrow \infty$ desta função é o hamiltoniano do sistema. Para $�$ finito, estes são às vezes chamados de hamiltonianos de estado finito.^[6]

Função de partição e medida

A função de partição de estado finito correspondente é dada por

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Z_{n}(V)=\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}\exp(-\beta H_{n}(C_{0}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))

com $C_{0}$ sendo os conjuntos cilindros definidos acima. Aqui, $\beta =1/kT$ , em que $�$ é a constante de Boltzmann e $�$ é a temperatura. É muito comum em tratamentos matemáticas configurar $\beta =1$ , já que é facilmente recuperado ao reescalar a energia de interação. A função de partição é escrita como uma função da interação $�$ para enfatizar que isto é apenas uma função da interação e não de qualquer configuração específica de spins. A função de partição e o hamiltoniano são usados para definir uma medida sobre a sigma-álgebra de Borel da seguinte maneira: a medida de um conjunto cilindro, isto é, um elemento da base, é dada por

\mu (C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])={\frac {1}{Z_{n}(V)}}\exp(-\beta H_{n}(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])).

Pode-se então estender por aditividade contável à sigma-álgebra total. Esta medida é uma medida de probabilidade, que dá a probabilidade de que uma dada configuração ocorra no espaço de configuração $Q^{\mathbf {Z} }$ . Ao dotar o espaço de configuração com uma medida de probabilidade construída a partir de um hamiltoniano desta forma, o espaço de configuração se transforma em um conjunto canônico.

A maioria das propriedades termodinâmicas pode ser expressa diretamente em termos de uma função de partição. Assim, por exemplo, a energia livre de Helmholtz é dada por

A_{n}(V)=-kT\log Z_{n}(V).

Outra importante quantidade relacionada é a pressão topológica, definida como

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

P(V)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log Z_{n}(V),

que aparecerá como o logaritmo do autovalor condutor do operador de transferência da solução.^[6]

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